Introduce dos o más números enteros positivos. El calculador encontrará el número más grande que divide sin dejar residuo a todos los números introducidos. Puedes añadir o eliminar números usando los botones ⁜ (añadir) y ⊖ (eliminar).
El Máximo Común Divisor (MCD) es el divisor más grande compartido por dos o más números. Por ejemplo, el MCD de 12 y 8 es 4, porque 4 es el número más grande que divide tanto a 12 como a 8. El MCD es fundamental en teoría de números y se utiliza en fracciones, criptografía y algoritmos de optimización.
Introduce dos o más números enteros positivos. El calculador encontrará el número más pequeño que es divisible por todos los números introducidos. Puedes añadir o eliminar números usando los botones ⁜ (añadir) y ⊖ (eliminar).
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) es el múltiplo más pequeño compartido por dos o más números. Por ejemplo, el MCM de 4 y 6 es 12, porque 12 es el número más pequeño que es divisible tanto por 4 como por 6. El MCM se utiliza al sumar fracciones, en planificación de ciclos y en muchas aplicaciones de teoría de números.
Introduce un número 𝑎 (base) y un número 𝑚 (módulo). El calculador encontrará el residuo mínimo no negativo cuando 𝑎 se divide por 𝑚. Esto también se conoce como 𝑎 módulo 𝑚.
La congruencia modular es una operación que encuentra el residuo después de la división. Por ejemplo, 17 módulo 5 = 2, porque 17 = 3×5 + 2. La aritmética modular es fundamental en criptografía, teoría de números y ciencias de la computación. Las congruencias también se escriben como 𝑎 ≡ 𝑟 (mod 𝑚).
Introduce una base 𝑎, un exponente 𝑏 y un módulo 𝑚. El calculador calcula 𝑎^𝑏 módulo 𝑚 de manera eficiente sin calcular primero 𝑎^𝑏 (que podría ser un número enorme). Esto es crucial para números muy grandes.
La potencia modular calcula 𝑎 elevado a la potencia 𝑏, luego encuentra el residuo cuando se divide por 𝑚. Por ejemplo, 3^5 módulo 7 = 243 módulo 7 = 5. Este cálculo es fundamental en criptografía de clave pública (RSA), protocolos de intercambio de claves y pruebas de primalidad. Los algoritmos eficientes pueden manejar exponentes y módulos extremadamente grandes.
Introduce un número 𝑎 (base) y un módulo 𝑚. El calculador encuentra el inverso multiplicativo modular 𝑥 tal que 𝑎×𝑥 ≡ 1 (mod 𝑚). El inverso existe solo si 𝑎 y 𝑚 son coprimos (MCD = 1).
El inverso multiplicativo modular de 𝑎 módulo 𝑚 es un número 𝑥 tal que 𝑎×𝑥 deja un residuo de 1 cuando se divide por 𝑚. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4, porque 3×4 = 12 ≡ 1 (mod 11). Este concepto es esencial en criptografía RSA, descifrado de cifras y resolución de ecuaciones modulares lineales.
Introduce un número entero positivo 𝑛. El calculador determina si 𝑛 es primo (solo divisible por 1 y él mismo) o compuesto (tiene otros divisores). Para números muy grandes, utiliza pruebas probabilísticas de primalidad.
Un número primo es un número natural mayor que 1 que no tiene divisores positivos excepto 1 y él mismo. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son primos. Los números primos son piedras angulares de la teoría de números y criptografía. Todos los números enteros mayores que 1 pueden factorizarse únicamente como un producto de números primos (Teorema Fundamental de la Aritmética).
Introduce un número entero positivo 𝑛. El calculador calcula φ(𝑛), que es el conteo de números enteros positivos hasta 𝑛 que son coprimos con 𝑛 (es decir, MCD(𝑘, 𝑛) = 1).
La función Totiente de Euler φ(𝑛) cuenta cuántos números positivos menores o iguales a 𝑛 son coprimos con 𝑛. Por ejemplo, φ(9) = 6 porque 1, 2, 4, 5, 7, 8 son coprimos con 9. Para un primo 𝑝, φ(𝑝) = 𝑝 - 1. Esta función es fundamental en el criptosistema RSA, donde aparece en el cálculo de la clave privada y en el Teorema de Euler (𝑎^φ(𝑛) ≡ 1 (mod 𝑛)).
Introduce una base 𝑎 y un módulo 𝑛. El calculador encuentra el orden multiplicativo de 𝑎 módulo 𝑛, que es el entero positivo más pequeño 𝑘 tal que 𝑎^𝑘 ≡ 1 (mod 𝑛). Requiere que MCD(𝑎, 𝑛) = 1.
El orden multiplicativo de 𝑎 módulo 𝑛 es el exponente más pequeño 𝑘 tal que 𝑎 elevado a la potencia 𝑘 deja un residuo de 1 cuando se divide por 𝑛. Por ejemplo, el orden de 3 módulo 7 es 6, porque 3^6 ≡ 1 (mod 7), y 6 es el exponente positivo más pequeño con esta propiedad. El orden divide φ(𝑛) y es crucial en algoritmos de logaritmo discreto y en la teoría de grupos multiplicativos.
Introduce una base 𝑎, un resultado 𝑏 y un módulo 𝑚. El calculador encuentra el índice (logaritmo discreto) 𝑥 tal que 𝑎^𝑥 ≡ 𝑏 (mod 𝑚). Para números grandes, esto puede ser computacionalmente difícil.
El logaritmo discreto es el inverso de la exponenciación modular. Dado 𝑎^𝑥 ≡ 𝑏 (mod 𝑚), el logaritmo discreto encuentra 𝑥. Mientras que calcular 𝑎^𝑥 módulo 𝑚 es fácil, encontrar 𝑥 es computacionalmente difícil para módulos grandes, lo que lo hace fundamental en criptografía de clave pública. Este problema difícil es la base del Protocolo de Intercambio de Claves Diffie-Hellman y de sistemas criptográficos de curva elíptica.
Introduce un número entero positivo 𝑛. El calculador descompone 𝑛 en su factorización prima única, expresada como un producto de números primos. Para números grandes, esto puede requerir tiempo significativo.
La factorización prima es la descomposición de un número en un producto de números primos. Por ejemplo, 60 = 2² × 3 × 5. El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que cada número entero mayor que 1 tiene una factorización prima única (salvo el orden). Factorizar números grandes es computacionalmente difícil, lo que es la base de la seguridad del criptosistema RSA. Mientras que es fácil multiplicar dos números primos grandes, es extremadamente difícil factorizar su producto.
Introduce un número entero positivo 𝑛. El calculador calcula λ(𝑛), que es el menor entero positivo 𝑘 tal que 𝑎^𝑘 ≡ 1 (mod 𝑛) para todo 𝑎 coprimo con 𝑛.
La función de Carmichael λ(𝑛), también conocida como función lambda o función totiente reducida, da el menor entero positivo 𝑘 tal que 𝑎^𝑘 ≡ 1 (mod 𝑛) para todo 𝑎 coprimo con 𝑛. Por ejemplo, λ(8) = 2 porque para todo 𝑎 coprimo con 8 se cumple 𝑎² ≡ 1 (mod 8). Para un primo 𝑝, λ(𝑝) = 𝑝 - 1. Esta función es fundamental en criptografía, especialmente en el análisis de períodos de la exponenciación modular.
Introduce un candidato 𝑞 y un módulo 𝑛. El calculador determina si 𝑞 es un residuo cuadrático módulo 𝑛 (es decir, si existe un 𝑥 tal que 𝑥² ≡ 𝑞 (mod 𝑛)). Para primos, utiliza el Símbolo de Legendre; para números compuestos, el Símbolo de Jacobi.
Un número 𝑞 es un residuo cuadrático módulo 𝑛 si existe un número 𝑥 tal que 𝑥² ≡ 𝑞 (mod 𝑛). Por ejemplo, 4 es un residuo cuadrático módulo 7 porque 2² ≡ 4 (mod 7). El Símbolo de Legendre (𝑎/𝑝) y el Símbolo de Jacobi son herramientas para determinar la residuosidad. Los residuos cuadráticos tienen aplicaciones en criptografía, especialmente en sistemas basados en la dificultad computacional de la residuosidad cuadrática.
Introduce múltiples congruencias de la forma 𝑥 ≡ 𝑎𝑖 (mod 𝑛𝑖), donde los módulos 𝑛𝑖 son coprimos entre sí (sus MCD son 1). El calculador encuentra la solución única 𝑥 módulo el producto de todos los módulos. Puedes añadir más congruencias con el botón ⁜.
El Teorema del Resto Chino (CRT) establece que si 𝑛₁, 𝑛₂, ..., 𝑛𝑘 son coprimos, entonces existe una solución única módulo 𝑁 = 𝑛₁𝑛₂...𝑛𝑘 para el sistema de congruencias 𝑥 ≡ 𝑎𝑖 (mod 𝑛𝑖). Este teorema es fundamental en teoría de números, criptografía (para acelerar operaciones RSA) y sistemas de computación en residuos. CRT permite resolver sistemas de congruencias de manera eficiente.
Introduce un candidato 𝑔 y un módulo 𝑛. El calculador indica si 𝑔 es una raíz primitiva módulo 𝑛, es decir, si sus potencias generan todos los residuos invertibles módulo 𝑛.
Una raíz primitiva módulo 𝑛 es un elemento cuyo orden multiplicativo es φ(𝑛). Esto significa que las potencias de 𝑔 recorren todos los enteros coprimos con 𝑛. Por ejemplo, 2 es una raíz primitiva módulo 5, ya que 2¹, 2², 2³ y 2⁴ producen 2, 4, 3 y 1 (mod 5). Las raíces primitivas se usan en teoría de grupos cíclicos y en criptografía, especialmente en esquemas tipo Diffie-Hellman.
Introduce un módulo 𝑛. El calculador encuentra la raíz primitiva más pequeña módulo 𝑛, que es un número 𝑔 cuyo orden multiplicativo módulo 𝑛 es φ(𝑛). Las raíces primitivas existen solo para ciertos valores de 𝑛.
Una raíz primitiva módulo 𝑛 es un número 𝑔 cuyo orden multiplicativo es φ(𝑛), lo que significa que las potencias 𝑔¹, 𝑔², ..., 𝑔^φ(𝑛) generan todos los números coprimos con 𝑛. Por ejemplo, 2 es una raíz primitiva módulo 5, porque 2¹, 2², 2³, 2⁴ generan 2, 4, 3, 1 (mod 5). Las raíces primitivas existen para 𝑛 = 1, 2, 4, 𝑝^𝑘, o 2𝑝^𝑘 donde 𝑝 es un primo impar. Tienen aplicaciones en criptografía Diffie-Hellman y en la teoría de grupos cíclicos.